每日一题[2544]连环计

已知正四面体可容纳 $10$ 个半径为 $1$ 的小球，则正四面体棱长的最小值为_______．

答案    $4+2\sqrt 6$．

解析    记题中正四边形为 $PQRS$，这 $10$ 个小球按 $1+3+6$ 排列为 $3$ 层时正四面体 $PQRS$ 的棱长最小，设此时最靠近正四面体 $PQRS$ 的四个顶点的小球的球心分别为 $A,B,C,D$，则正四面体 $ABCD$ 的棱长 $AB=4$．正四面体 $ABCD$ 与 $PQRS$ 的中心均为 $O$，有

$$\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{OP}{OA}=\dfrac{OA+AP}{OA}=1+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{6}}2 \cdot 4}=1+\dfrac{3}{2\sqrt 6},$$ 因此 $PQ=4+2\sqrt6$．