每日一题[2543]分段考察

已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，函数 $f(x)=[2\sin x\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为_______．

答案    $\{-2,-1,1,2\}$．

解析    设 $t=\sin x+\cos x$，其中 $t\in \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$，则

$$y=f(x)=[t^2-1]+[t],$$ 有 $$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline t&-\sqrt2&\left(-\sqrt 2,-1\right)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&\left(1,\sqrt 2\right)&\sqrt 2\\ \hline \left[t^2-1\right]&1&0&0&-1&-1&-1&0&0&1\\ \hline [t]&-2&-1&-1&-1&0&0&1&1&1\\ \hline y&-1&-1&-1&-2&-1&-1&1&1&2\\ \hline \end{array}$$ 因此所求值域为 $\{-2,-1,1,2\}$．