每日一题[2537]谋定后动

已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为 $\dfrac 16$，则此三棱锥的高 $h$ 与其内切球半径 $r$ 之比是（       ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．$8$

答案    C．

解析    如图，正三棱锥 $P-ABC$ 中，$M$ 为 $BC$ 中点，$O$ 为底面中心，$Q$ 为内切球球心，则 $QM$ 为 $\angle PMO$ 的角平分线，有

$$\dfrac{OQ}{QP}=\dfrac{MO}{MP}=\dfrac 16\implies \dfrac hr=\dfrac{PO}{QO}=7.$$