每日一题[2537]谋定后动

已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为 $\dfrac 16$ ，则此三棱锥的高 $h$ 与其内切球半径 $r$ 之比是（）

A． $5$

B． $6$

C． $7$

D． $8$

答案 C．

解析如图，正三棱锥 $P-ABC$ 中， $M$ 为 $BC$ 中点， $O$ 为底面中心， $Q$ 为内切球球心，则 $QM$ 为 $\angle PMO$ 的角平分线，有

\frac{O Q}{Q P} = \frac{M O}{M P} = \frac{1}{6} ⟹ \frac{h}{r} = \frac{P O}{Q O} = 7.

$\dfrac{OQ}{QP}=\dfrac{MO}{MP}=\dfrac 16\implies \dfrac hr=\dfrac{PO}{QO}=7.$

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