设 X 是有限集，t 为正整数，F 是包含 t 个子集的子集族：F={A1,A2,⋯,At}．如果 F 中的部分子集构成的集族 S 满足：对 S 中任意两个不相等的集合 A,B，A⫋B 和 B⫋A 均不成立，则称 S 为反链．设 S1 为包含集合最多的反链，S2 是任意反链．证明：存在 S2 到 S1 的单射 f，满足对任意 A∈S2，f(A)⫋A 或 A⫋f(A) 成立．
解析 记 |S1|=r，称包含 r 个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一．称 F 的子集 P 为链，如果 ∀A,B∈P,A⫋B,B⫋A 之一成立．我们证明（即 Dilworth 定理）：
引理 F 可以拆分为 r 个链 Pi（1⩽i⩽r）的并．
引理的证明 对 t 进行归纳证明．t=1 时显然成立．设命题对 t−1 成立，先假设存在一个最大反链 S，使得 F 中既有集合真包含 S 中的某个集合，也有集合是 S 中的某个集合的真子集．记前者的全体为 F1，后者的全体为 F2，即 F1={Ai∈F∣Ai 包含 S 中的某个集合 },F2={Ai∈F∣Ai 是 S 中的某个集合的子集 }, 则 F1∪S,F2∪S 均是 F 的真子集，从而由归纳假设可将 F1∪S,F2∪S 都可以拆成 r 个链的并．F1∪S 中的链以 S 中的元素开始，F2∪S 中的链以 S 中的元素结束．将这些链“接”起来就将 F 分成了 r 条链． 现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足 F1=∅，要么满足 F2=∅．前者意味着 S 中的子集都是“极大”子集（不是另一个 Ai 的真子集），后者意味着 S 中的子集都是“极小”集（不真包含另一个 Ai），从而至多有两个最大反链．
情形一 如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集 A，以及极小子集 B⫋A，将 A,B 都去掉．用归纳假设将剩下的集合拆分成 r−1 条链，再加上链 B⫋A 即可．
情形二 如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可． 至此，引理证毕．
回到原题 现在将 F 拆分成 r 条链，则每条链中恰有一个 S1 中的子集，且至多有一个 S2 中的子集．将每个 S2 中的子集对应到所在链中 S1 的元素，就得到了从 S2 到 S1 满足要求的映射．题中命题得证．