每日一题[2521]同构函数

已知函数 $y=a x \mathrm{e}^{x}$ 与 $y=\ln x+x$ 的图象有两个交点，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(0, \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$

B．$\left(0, \dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)$

C．$\left(-\infty, \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$

D．$\left(-\infty, \dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)$

答案    A．

解析    考虑方程

$$ax{\rm e}^x=\ln x+x\iff a=\dfrac{\ln \left(x\cdot {\rm e}^x\right)}{x\cdot {\rm e}^x}.$$ 利用导数研究函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0 \\ \hline \end{array}$$ 而 $y=x\cdot {\rm e}^x$ 单调递增，因此每个正实数 $y_0$ 与一个正实数 $x_0$ 一一对应满足 $y_0=x_0\cdot {\rm e}^{x_0}$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．