2015年高考北京卷理科数学第20题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_1\in\mathcal N^*\)，\(a_1\leqslant 36\)，且\(a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant 18,\\2a_n-36,&a_n>18.\end{cases}\)（\(n=1,2,\cdots\)）．记集合\(M=\left\{a_n\left|n\in\mathcal N^*\right.\right\}\)．
（1）若\(a_1=6\)，写出集合\(M\)的所有元素；
（2）若集合\(M\)存在一个元素是\(3\)的倍数，证明：\(M\)的所有元素都是\(3\)的倍数；
（3）求集合\(M\)的元素个数的最大值．
（1）当\(a_1=6\)时，数列按以下规律变化：\[6\to 12\to 24 \to 12 \to 24\to\cdots\]因此集合\(M\)的所有元素为\(6,12,24\)．
（2）容易推出
引理1 若\(3|a_n\)，则\(3|a_{n+1}\)．
引理2 如果\(3\nmid a_n\)，则\(3\nmid a_{n+1}\)．
于是若集合\(M\)中存在一个元素为\(3\)的倍数，也即存在某个\(a_p\)能被\(3\)整除，那么由引理1，当\(n\geqslant p\)时，\(3|a_n\)．接下来用反证法证明当\(n<p\)时，\(3|a_n\)．
若不然，设存在\(a_q\)，\(q<p\)且\(3\nmid a_q\)，则由引理2，当\(n\geqslant q\)时，\(3\nmid a_n\)，而\(3|a_p\)，矛盾．
因此原命题得证．
（3）首先证明\(M\)的元素个数不可能多于\(8\)．
容易知道，\(1\leqslant a_n\leqslant 36,n\in\mathcal N^*\)且当\(n\geqslant 3\)时，\(4|a_n\)．
若\(3|a_1\)，则由引理1，对任意\(n\in\mathcal N^*\)有\(3|a_n\)，于是当\(n\geqslant 3\)时，\(12|a_n\)，于是\(a_n\in\left\{12,24,36\right\}\)．因此\(M\)的元素个数不可能多于\(5\)；
若\(3\nmid a_1\)，则由引理2，对任意\(n\in\mathcal N^*\)有\(3\nmid a_n\)，于是当\(n\geqslant 3\)时，\(a_n\in\left\{4,8,16,20,28,32\right\}\)．因此\(M\)的元素个数不可能多于\(8\)．
事实上，取\(a_1=1\)，则有\[M=\left\{1,2,4,8,16,32,28,20\right\}\]恰好含有\(8\)个元素，因此所求集合\(M\)的元素个数的最大值为\(8\)．