每日一题[146] 论证与构造

2015年高考北京卷理科数学第20题（压轴题）：

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足：$a_1\in\mathcal N^*$，$a_1\leqslant 36$，且$a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant 18,\\2a_n-36,&a_n>18.\end{cases}$（$n=1,2,\cdots$）．记集合$M=\left\{a_n\left|n\in\mathcal N^*\right.\right\}$．

（1）若$a_1=6$，写出集合$M$的所有元素；

（2）若集合$M$存在一个元素是$3$的倍数，证明：$M$的所有元素都是$3$的倍数；

（3）求集合$M$的元素个数的最大值．

（1）当$a_1=6$时，数列按以下规律变化： $$6\to 12\to 24 \to 12 \to 24\to\cdots$$ 因此集合$M$的所有元素为$6,12,24$．

（2）容易推出

引理1    若$3|a_n$，则$3|a_{n+1}$．

引理2    如果$3\nmid a_n$，则$3\nmid a_{n+1}$．

于是若集合$M$中存在一个元素为$3$的倍数，也即存在某个$a_p$能被$3$整除，那么由引理1，当$n\geqslant p$时，$3|a_n$．接下来用反证法证明当$n<p$时，$3|a_n$．

若不然，设存在$a_q$，$q<p$且$3\nmid a_q$，则由引理2，当$n\geqslant q$时，$3\nmid a_n$，而$3|a_p$，矛盾．

因此原命题得证．

（3）首先证明$M$的元素个数不可能多于$8$．

容易知道，$1\leqslant a_n\leqslant 36,n\in\mathcal N^*$且当$n\geqslant 3$时，$4|a_n$．

若$3|a_1$，则由引理1，对任意$n\in\mathcal N^*$有$3|a_n$，于是当$n\geqslant 3$时，$12|a_n$，于是$a_n\in\left\{12,24,36\right\}$．因此$M$的元素个数不可能多于$5$；

若$3\nmid a_1$，则由引理2，对任意$n\in\mathcal N^*$有$3\nmid a_n$，于是当$n\geqslant 3$时，$a_n\in\left\{4,8,16,20,28,32\right\}$．因此$M$的元素个数不可能多于$8$．

事实上，取$a_1=1$，则有 $$M=\left\{1,2,4,8,16,32,28,20\right\}$$ 恰好含有$8$个元素，因此所求集合$M$的元素个数的最大值为$8$．