每日一题[2503]生成多项式

中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，恰有 $1$ 人选泰山的概率为（       ）

A．$\dfrac{48}{125}$

B．$\dfrac{36}{125}$

C．$\dfrac{2}{5}$

D．$\dfrac{3}{10}$

答案    A．

解析    设关于 $a$ 的代数式 $(a+b+c+d+e)^3$ 的展开式中 $a$ 的系数为 $n$，则所求概率为 $\dfrac{n}{5^3}$．令 $b=c=d=e=1$，根据二项式定理，有

$$n=\dbinom 31\cdot 4^2=48,$$ 因此所求概率为 $\dfrac{48}{125}$．