每日一题[2493]回归定义

已知函数 $f(x)=ax^3-\dfrac{12x}a$（$a\ne 0$）的极小值为 $f(2)$，则 $a=$_______．

答案    $1,-2$．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3ax^2-\dfrac{12}a,$$ 因此 $$f'(x)=0\iff x=\pm \dfrac 2a,$$ 所以 $f(x)$ 的极小值为 $$\begin{cases} f\left(\dfrac 2a\right),&a>0,\\ f\left(-\dfrac 2a\right),&a<0,\end{cases}$$ 因此 $$\begin{cases} a>0,\\ f\left(\dfrac 2a\right)=f(2),\end{cases}\lor \begin{cases} a<0,\\ f\left(-\dfrac 2a\right)=f(2),\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} a>0,\\ -\dfrac{16}{a^2}=8a-\dfrac{24}a,\end{cases}\lor \begin{cases} a<0,\\\dfrac{16}{a^2}=8a-\dfrac{24}a,\end{cases}$$ 解得 $a=1$ 或 $a=-2$．