每日一题[2473]三分天下

设集合 $S=\{1,2,3, \cdots, 10\}$，$S$ 的子集 $A$ 满足

$$A \cap\{1,2,3\} \neq \varnothing, \quad A \cup\{4,5,6\} \neq S,$$ 这样的子集 $A$ 的个数为_______．

答案    $888$．

解析  将 $S$ 划分为 $S_1=\{1,2,3\}$，$S_2=\{4,5,6\}$，$S_3=\{7,8,9,10\}$，则按以下两步确定子集 $A$． 第一步，取 $S_2$ 的一个子集，有 $2^3$ 种方法； 第二步，取 $S_1$（有 $1$ 种方法）以及 $S_3$ 的一个真子集（有 $2^4-1$ 种方法）；或者取 $S_1$ 的一个非空真子集（有 $2^3-2$ 种方法）以及 $S_3$ 的一个子集（有 $2^4$ 种方法）． 把这两步得到的集合并起来就得到了集合 $A$，因此满足题意的子集 $A$ 的个数为

$$2^3\cdot \left(1\cdot (2^4-1)+(2^3-2)\cdot 2^4\right)=888.$$