每日一题[145] 分段函数的零点

2015年高考北京卷理科数学第14题(填空压轴题):

设函数f(x)={2xa,x<1,4(xa)(x2a),x1.

①  若a=1,则f(x)的最小值为_______;

②  若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是_______.


cover正确答案是1[12,1)[2,+)

①  当a=1时,函数f(x)的图象如图,最小值为1

QQ20150611-4@2x

②  分段考虑函数f(x)的零点.

直线x=1左侧.

y=2xa单调递增,且在x<1时取值范围为(a,2a),于是只有当0<a<2时函数f(x)在直线x=1左侧存在零点.

直线x=1右侧(含x=1).

考虑y=4(xa)(x2a)的两个零点x=ax=2a,分别与x=1进行比较,划分区间讨论,可得函数f(x)x1时的零点个数为{0,2a<1,1,a<12a,2,1a.

QQ20150620-5@2x综合以上,可得函数f(x)恰有两个零点时,a的取值范围是[12,1)[2,+)

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