2015年高考北京卷理科数学第14题(填空压轴题):
设函数f(x)={2x−a,x<1,4(x−a)(x−2a),x⩾1..
① 若a=1,则f(x)的最小值为_______;
② 若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是_______.
① 当a=1时,函数f(x)的图象如图,最小值为−1.
② 分段考虑函数f(x)的零点.
直线x=1左侧.
y=2x−a单调递增,且在x<1时取值范围为(−a,2−a),于是只有当0<a<2时函数f(x)在直线x=1左侧存在零点.
直线x=1右侧(含x=1).
考虑y=4(x−a)(x−2a)的两个零点x=a和x=2a,分别与x=1进行比较,划分区间讨论,可得函数f(x)在x⩾1时的零点个数为{0,2a<1,1,a<1⩽2a,2,1⩽a.