每日一题[145] 分段函数的零点

2015年高考北京卷理科数学第14题（填空压轴题）：

设函数$f(x)=\begin{cases}2^x-a,&x<1,\\4(x-a)(x-2a),&x\geqslant 1.\end{cases}$．

①  若$a=1$，则$f(x)$的最小值为_______；

②  若$f(x)$恰有$2$个零点，则实数$a$的取值范围是_______．

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正确答案是$-1$；$\left[\dfrac 12,1\right)\cup\left[2,+\infty\right)$．

①  当$a=1$时，函数$f(x)$的图象如图，最小值为$-1$．

②  分段考虑函数$f(x)$的零点．

直线$x=1$左侧．

$y=2^x-a$单调递增，且在$x<1$时取值范围为$(-a,2-a)$，于是只有当$0<a<2$时函数$f(x)$在直线$x=1$左侧存在零点．

直线$x=1$右侧（含$x=1$）．

考虑$y=4(x-a)(x-2a)$的两个零点$x=a$和$x=2a$，分别与$x=1$进行比较，划分区间讨论，可得函数$f(x)$在$x\geqslant 1$时的零点个数为

$$\begin{cases}0,&2a<1,\\1,&a<1\leqslant 2a,\\2,&1\leqslant a.\end{cases}$$

综合以上，可得函数$f(x)$恰有两个零点时，$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,1\right)\cup\left[2,+\infty\right)$．