每日一题[2439]高效消元

已知 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$，且

$$(a+b-c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=3,$$ 则 $\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)\left(\dfrac{1}{a^{4}}+\dfrac{1}{b^{4}}+\dfrac{1}{c^{4}}\right)$ 的最小值是（       ）

A．$417+240\sqrt 3$

B．$417-240\sqrt 3$

C．$417$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    不妨设 $ab=1$，则条件即

$$(a+b-c)\left(a+b-\dfrac 1c\right)=3,$$ 即 $$c+\dfrac 1c=\dfrac{a^2+b^2}{a+b},$$ 从而 $$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\geqslant 2\iff a+b\geqslant 1+\sqrt 3,$$ 根据柯西不等式 $$\begin{split} m&=(a^4+b^4+c^4)\left(a^4+b^4+\dfrac 1{c^4}\right)\\ &\geqslant \left(a^4+b^4+1\right)^2\\ &=\left((a+b)^4-4(a+b)^2+3\right)^2\\ &\geqslant 417+240\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $c=1$，$a+b=1+\sqrt 3$ 时取得．因此所求最小值为 $417+240\sqrt 3$．