已知 $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$，且\[(a+b-c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=3,\]则 $\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)\left(\dfrac{1}{a^{4}}+\dfrac{1}{b^{4}}+\dfrac{1}{c^{4}}\right)$ 的最小值是（ ）
A．$417+240\sqrt 3$
B．$417-240\sqrt 3$
C．$417$
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 不妨设 $ab=1$，则条件即\[(a+b-c)\left(a+b-\dfrac 1c\right)=3,\]即\[c+\dfrac 1c=\dfrac{a^2+b^2}{a+b},\]从而\[\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\geqslant 2\iff a+b\geqslant 1+\sqrt 3,\]根据柯西不等式\[\begin{split} m&=(a^4+b^4+c^4)\left(a^4+b^4+\dfrac 1{c^4}\right)\\ &\geqslant \left(a^4+b^4+1\right)^2\\ &=\left((a+b)^4-4(a+b)^2+3\right)^2\\ &\geqslant 417+240\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $c=1$，$a+b=1+\sqrt 3$ 时取得．因此所求最小值为 $417+240\sqrt 3$．