每日一题[2423]消元

已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+2abc$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{11}{27},1\right]$．

解析    设题中代数式为 $m$，一方面，有 $$m=(a+b+c)^2+2abc-2ab-2bc-2ca=1+2ab(c-1)-2c(a+b)\leqslant 1,$$ 当 $(a,b,c)=(0,0,1)_{\rm cyc}$ 时取得等号，因此 $m$ 的最大值为 $1$． 另一方面，有 $$\begin{split} m&=(a+b)^2+c^2-2ab(1-c)\\ &\geqslant (1-c)^2+c^2-\dfrac 12(a+b)^2(1-c)\\ &=\dfrac{1-c+c^2+c^3}2\\ &=\dfrac{11}{27}+\dfrac{(3c-1)^2(3c+5)}{54}\\ &\geqslant \dfrac{11}{27},\end{split}$$ 当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时取得等号，因此 $m$ 的最小值为 $\dfrac{11}{27}$． 综上所述，$a^2+b^2+c^2+2abc$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{11}{27},1\right]$．