每日一题[2422]论证与构造

已知实数 $a>0$，二次函数 $f(x)=ax^2-x+1$，若在任意长度为 $1$ 的闭区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 $1$，则 $a$ 的最小值为_______．

答案    $4$．

解析    设长度为 $1$ 的区间为 $\left[m-\dfrac 12,m+\dfrac 12\right]$，则

$$\begin{cases} f\left(m+\dfrac 12\right)-f(m)=am-\dfrac14a+\dfrac 12,\\ f(m)-f\left(m-\dfrac 12\right)=am-\dfrac14a-\dfrac 12,\end{cases}$$ 因此 $$\left|f\left(m+\dfrac 12\right)-f(m)\right|+\left|f(m)-f\left(m-\dfrac 12\right)\right|\geqslant \left|\left(am+\dfrac14a-\dfrac 12\right)-\left(am-\dfrac14a-\dfrac 12\right)\right|,$$ 也即 $$\left|f\left(m+\dfrac 12\right)-f(m)\right|+\left|f(m)-f\left(m-\dfrac 12\right)\right|\geqslant \dfrac 12a,$$ 取 $m=\dfrac {1}{2a}$，则 $$\left|f\left(m+\dfrac 12\right)-f(m)\right|=\left|f(m)-f\left(m-\dfrac 12\right)\right|=\dfrac a4,$$ 因此 $a$ 的最小值为 $4$．