每日一题[2413]纠缠的曲线

曲线 $|x|+|y|\leqslant \sqrt{\pi}$ 和 $x^2+y^2\geqslant 2$ 围成的面积是_______．

答案    $8\arccos\dfrac{\sqrt{\pi}}2-2\sqrt{\pi(4-\pi)}$．

解析    如图，所求面积为正方形 $ABCD$ 内部且在圆 $O$ 外部的部分，即 $4$ 倍的曲边三角形 $AEF$ 的面积．

设 $\angle EOA=\theta$，则

$$\begin{split} [\text{曲边 }\triangle AEF]&=[OEAG]-[\text{扇形 }OEF]-[\triangle OEG]\\ &=\dfrac14[ABCD]-\dfrac 12\cdot 2\theta\cdot \left(\sqrt 2\right)^2-\dfrac 12\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}2-2\theta\right)\cdot \left(\sqrt 2\right)^2\\ &=\dfrac{\pi}2-2\theta-\cos2\theta,\end{split}$$ 注意到 $d(O,FG)=\sqrt{\dfrac{\pi}2}$，于是 $$\cos\left(\dfrac{\pi}4-\theta\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}2\implies \begin{cases} 2\theta=\dfrac{\pi}2-2\arccos\dfrac{\sqrt {\pi}}2,\\ \cos2\theta=\sin\left(2\left(\dfrac{\pi}4-\theta\right)\right)=\dfrac{\sqrt{\pi(4-\pi)}}2,\end{cases}$$ 因此所求面积为 $$2\pi-\left(2\pi-8\arccos\dfrac{\sqrt{\pi}}2\right)-2\sqrt{\pi(4-\pi)}=8\arccos\dfrac{\sqrt{\pi}}2-2\sqrt{\pi(4-\pi)}.$$