每日一题[2406]极值点偏移

已知 $f(x)=\dfrac{x-a}{\ln x}$ 的极值点为 $m,n$（$m<n$），则（       ）

A．$a\geqslant 1$

B．$mn>1$

C．$m+n>2$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x\ln x-x+a}{x\ln^2x},$$ 设分子部分为 $g(x)$（$x>0$ 且 $x\ne 1$），则其导函数 $$g'(x)=\ln x,$$ 而 $g(1)=a-1$，因此函数 $f(x)$ 有两个极值点，等价于 $g(x)$ 有两个变号零点，而 $$\lim_{x\to 0}g(x)=a,\quad \lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty,$$ 因此 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$，选项 $\boxed{A}$ 错误． 根据题意，有 $$0<m<1<n<{\rm e},$$ 且 $$m\ln m-m=n\ln n-n=-a,$$ 于是 $$\dfrac {n}{\ln m-1}=\dfrac m{\ln n-1}=\dfrac{n-m}{\ln m-\ln n}=\dfrac{n+m}{\ln (mn)-2},$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac {m+n}2>\dfrac{m-n}{\ln m-\ln n }=\dfrac{n+m}{2-\ln(mn)},$$ 从而 $mn<1$，选项 $\boxed{B}$ 错误． 根据对数的进阶放缩，有 $$\ln m>\dfrac{m^2-1}{2m},\quad \ln n<\dfrac{n^2-1}{2n},$$ 从而 $$\dfrac {m^2-1}{2m}\cdot m-m=-a=n\ln n-n<\dfrac{n^2-1}{2n}\cdot n-n,$$ 整理可得 $m+n>2$，选项 $\boxed{C}$ 正确． 综上所述，选项$\boxed{C}$符合题意．