方程 18x+4y+9z=2021 的正整数解的组数为_______.
答案 3080.
解析 根据题意,有4y≡5(mod9)⟹y≡8(mod9),设y=9a+8,a∈N,则2x+4a+z=221,类似的,可得 z≡1(mod2),设 z=2b+1,b∈N,则x+2a+b=110.
情形一 x,b 均为奇数,设 x=2c+1 且 y=2d+1,c,d∈N,于是c+a+d=54,其自然数解 (c,a,d) 有 (562) 组.
情形二 x,b 均为偶数,设 x=2c+2(注意 x 是正整数)且 y=2d,c,d∈N,于是c+a+d=54,其自然数解 (c,a,d) 有 (562) 组.
综上所述,题中方程的正整数解的组数为 2(562)=3080.