每日一题[2405]层层约化

方程 18x+4y+9z=2021 的正整数解的组数为_______.

答案    3080

解析    根据题意,有4y5(mod9)y8(mod9),y=9a+8aN,则2x+4a+z=221,类似的,可得 z1(mod2),设 z=2b+1bN,则x+2a+b=110.

情形一     x,b 均为奇数,设 x=2c+1y=2d+1c,dN,于是c+a+d=54,其自然数解 (c,a,d)(562) 组.

情形二     x,b 均为偶数,设 x=2c+2(注意 x 是正整数)且 y=2dc,dN,于是c+a+d=54,其自然数解 (c,a,d)(562) 组.

综上所述,题中方程的正整数解的组数为 2(562)=3080

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