每日一题[2405]层层约化

方程 $18x+4y+9z=2021$ 的正整数解的组数为_______．

答案    $3080$．

解析    根据题意，有

$$4y\equiv 5\pmod 9\implies y\equiv 8\pmod 9,$$ 设$y=9a+8$，$a\in\mathbb N$，则 $$2x+4a+z=221,$$ 类似的，可得 $z\equiv 1\pmod 2$，设 $z=2b+1$，$b\in\mathbb N$，则 $$x+2a+b=110.$$

情形一     $x,b$ 均为奇数，设 $x=2c+1$ 且 $y=2d+1$，$c,d\in\mathbb N$，于是

$$c+a+d=54,$$ 其自然数解 $(c,a,d)$ 有 $\dbinom{56}2$ 组．

情形二     $x,b$ 均为偶数，设 $x=2c+2$（注意 $x$ 是正整数）且 $y=2d$，$c,d\in\mathbb N$，于是

$$c+a+d=54,$$ 其自然数解 $(c,a,d)$ 有 $\dbinom{56}2$ 组．

综上所述，题中方程的正整数解的组数为 $2\dbinom{56}2=3080$．