已知 f(x)=log2x,g(x)=4+[x]+2−[x+|x|−2]4,其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则不等式 0<g(f(x))<1 的解集为_______.
答案 (14,1)∪⋃k∈N∗[2k−12,2k).
解析 根据题意,有g(x)=x+[x]−[x+|x|]4+1,因此当 x⩾0 时,有g(x+1)=(x+1)+[x+1]−[2x+2]4+1=g(x),当 x<0,有g(x−1)=(x−1)+[x−1]4+1=g(x)−12,因此可以画出函数 g(x) 的图象:
因此0<g(f(x))<1⟺−2<f(x)<0∨(k−12⩽f(x)<k,k∈Z),也即14<x<1∨2k−12⩽x<2k,k∈Z,因此所求解集为 (14,1)∪⋃k∈N∗[2k−12,2k).