每日一题[2404]类周期延拓

已知 $f(x)={\log_2}x$，$g(x)=\dfrac{4+[x]+2-\left[x+|x|-2\right]}4$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则不等式 $0<g(f(x))<1$ 的解集为_______．

答案    $\left(\dfrac 14,1\right)\cup\bigcup\limits_{k\in\mathbb N*}\left[2^{k-\frac 12},2^k\right)$．

解析    根据题意，有

$$g(x)=\dfrac{x+[x]-\left[x+|x|\right]}4+1,$$ 因此当 $x\geqslant 0$ 时，有 $$g(x+1)=\dfrac{(x+1)+[x+1]-[2x+2]}4+1=g(x),$$ 当 $x<0$，有 $$g(x-1)=\dfrac{(x-1)+[x-1]}4+1=g(x)-\dfrac 12,$$ 因此可以画出函数 $g(x)$ 的图象：

因此

$$0<g(f(x))<1\iff -2<f(x)<0\lor \big(k-\dfrac 12\leqslant f(x)<k,k\in\mathbb Z\big),$$ 也即 $$\dfrac 14<x<1\lor 2^{k-\frac 12}\leqslant x<2^k,k\in\mathbb Z,$$ 因此所求解集为 $\left(\dfrac 14,1\right)\cup\bigcup\limits_{k\in\mathbb N*}\left[2^{k-\frac 12},2^k\right)$．