每日一题[2383]分而治之

设 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\begin{cases} \cos (2\pi x-2\pi a),&x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5,&x\geqslant a,\end{cases}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有 $6$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$

B．$\left(\dfrac 74,2\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$

C．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left[\dfrac{11}{4},3\right)$

D．$\left(\dfrac 74,2\right)\cup \left[\dfrac{11}4,3\right)$

答案    A．

解析    题中函数即

$$f(x)=\begin{cases} \cos\big(2\pi(x-a)\big),&x-a<0,\\ (x-a)^2-2(x-a)-2a+5,&x-a\geqslant 0,\end{cases}$$ 因此问题即函数 $$g(x)=\begin{cases} \cos(2\pi x),&x<0\\ (x-1)^2+4-2a,&x\geqslant 0,\end{cases}$$ 在区间 $(-a,+\infty)$ 内恰有 $6$ 个零点． 考虑 $q(x)=(x-1)^2+4-2a,x\geqslant 0$，讨论分界点为 $a=2,\dfrac 52$，注意到 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上至多有 $2$ 个零点，因此在 $(-\infty,0)$ 上至少有 $4$ 个零点，考虑 $p(x)=\cos(2\pi x),x<0$，有 $a\geqslant \dfrac 74$，进而分界点为 $a=\dfrac{2k+7}4$（$k\in\mathbb N$）．讨论如下 $$\begin{array}{c|cccccccccc}\hline a&\dfrac 74&\left(\dfrac 74,2\right)&2&\left(2,\dfrac 94\right)&\dfrac 94&\left(\dfrac 94,\dfrac 52\right)&\dfrac 52&\left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right)&\dfrac{11}4&\left(\dfrac{11}4,+\infty\right)\\ \hline p(x)\text{ 的零点个数}&4&4&4&4&4&5&5&5&5&\geqslant 6\\ \hline q(x)\text{ 的零点个数}&0&0&1&2&2&2&2&1&1&1\\ \hline \sum&4&4&5&6&6&7&7&6&6&\geqslant 7\\ \hline \end{array}$$ 因此所求 $a$ 的取值范围是 $\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$．