每日一题[2378]重排

已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值是（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

答案    C．

解析    不妨设 $0<\alpha<\beta<\gamma<\dfrac{\pi}2$，则有

$$\begin{cases} \sin\alpha<\sin\beta<\sin\gamma,\\ \cos\alpha>\cos\beta>\cos\gamma,\end{cases}$$ 根据排序不等式，可得 $$\begin{split} \sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \gamma+\sin \gamma \cos \alpha&<\sin\alpha\cos\gamma+\sin\beta\cos\beta+\sin\gamma\cos\alpha\\ &=\sin(\alpha+\gamma)+\dfrac 12\sin2\beta\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}$$ 因此在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值至多只有 $2$ 个大于 $\dfrac 12$．接下来构造有 $2$ 个大于 $\dfrac 12$ 的值的例子．取 $\beta=\dfrac{\pi}4$，$\alpha=\dfrac{\pi}3$，$\gamma=\dfrac{\pi}6$，则 $$\sin \alpha \cos \beta=\sin \beta \cos \gamma=\dfrac{\sqrt 6}4>\dfrac 12,$$ 综上所述，在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值是 $2$．