每日一题[2354]比发展速度

设 $a=2\ln 1.01$，$b=\ln 1.02$，$c=\sqrt{1.04}-1$，则（       ）

A．$a<b<c$

B．$b<c<a$

C．$b<a<c$

D．$c<a<b$

答案    B．

解析    设 $a(x)=2\ln (1+x)$，$b(x)=\ln (1+2x)$，$c=\sqrt{1+4x}-1$，则

$$a(0)=b(0)=c(0)=0,$$ 我们先需要判断 $a(x),b(x),c(x)$ 在 $x=0.01$ 处的大小关系．考虑利用导函数研究三个函数的增长速度，有 $$\begin{split} & a'(x)=\dfrac{2}{1+x},\\ & b'(x)=\dfrac{2}{1+2x},\\ & c'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1+4x}},\end{split}$$ 注意到当 $0<x<2$ 时，有 $$1+2x+x^2<1+4x<1+4x+4x^2,$$ 因此 $$b'(x)<c'(x)<a'(x),$$ 从而 $$b(0.01)<c(0.01)<a(0.01)\iff b<c<a.$$