每日一题[2339]三角与几何

如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．

答案     $50$．

解析    过 $G$ 作 $AD$ 的垂线，分别交 $AD,BF$ 于 $M,N$，如图．

由于 $\angle EGF=\angle EBF=90^\circ$，于是 $B,E,G,F$ 四点共圆，从而

$$\angle AED=\angle NFG,$$ 又 $DE=GF$，于是直角三角形 $ADE$ 与直角三角形 $NGF$ 全等．而 $\triangle DMG$ 与 $\triangle DAE$ 的相似比为 $\dfrac 12$，于是 $$[DMG]=\dfrac14[DAE]=5,$$ 因此 $$[ADE]+[DCF]+[BEF]+[DEF]=2\big([DMG]+[DCF]+[NGF]+[DFG]\big),$$ 即 $$20+20+[BEF]=2(5+20+20),$$ 解得 $[BEF]=50$．

另法    设 $\angle AED=x$，则 $\angle EFB=x-\arctan \dfrac 12$，$\angle FDC=x-\arctan 2$，设 $FG=2m$，则 $DG=GE=m$，进而

$$\begin{cases} [ADE]=\dfrac 14 DE^2\sin 2x=m^2\sin 2x,\\ [DCF]=\dfrac 14 DF^2\sin2\left(x-\arctan2\right)=\dfrac 54m^2\sin2\left(x-\arctan2\right),\\ [BEF]=\dfrac 14 EF^2\sin2\left(x-\arctan\dfrac 12\right)=\dfrac 54m^2\sin2\left(x-\arctan\dfrac 12\right),\end{cases}$$ 注意到 $\arctan 2+\arctan\dfrac 12=\dfrac{\pi}2$，于是利用和差化积公式，有 $$\begin{split} [BEF]-[DCF]&=\dfrac 54m^2\cdot 2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}2\right)\sin\left(\arctan 2-\arctan\dfrac 12\right)\\ &=\dfrac 54m^2\cdot 2\sin 2x\cdot \dfrac 35\\ &=\dfrac 32m^2\sin2x\\ &=\dfrac 32[ADE]=\dfrac 32[DCF],\end{split}$$ 于是 $[BEF]=\dfrac 52[DCF]=50$．