每日一题[2334]构造对称

如图，$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=\alpha$，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且使得 $\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{\alpha}2-30^\circ$，则 $\angle ACD$ 的度数为_______．

答案    $30^\circ$．

解析    注意到 $\angle DAC=\dfrac{\alpha}2+30^\circ$，因此考虑构造 $\angle DAC-\angle DAB=60^\circ$ 这个特殊角．如图，作 $D$ 关于 $BC$ 的中垂线对称的点 $E$，连接 $EA,ED,EC$，则 $\triangle ADE$ 是正三角形且 $\triangle EAC$ 与 $\triangle DAB$ 全等．

此时有 $$EC=EA=AD=DE,$$ 因此点 $E$ 为 $\triangle ADC$ 的外心，从而 $$\angle ACD=\dfrac 12\angle AED=30^\circ.$$