每日一题[2325]寻找根源

我们可以利用数列 $\left\{a_n\right\}$ 的递推公式 $a_n=\begin{cases}n,&n~\text{为奇数时},\\a_{\frac n2},&n~\text{为偶数时},\end{cases}\left( n\in \mathbb N^{\ast} \right)$ 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 $a_{24}+a_{25}$ =[[nn]]；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 $8$ 个 $5$ 是该数列的第[[nn]]项．

答案    $28$，$640$．

解析    根据题意，若 $n=p\cdot 2^k$，其中 $p$ 为奇数，$k\in\mathbb N$，则 $a_n=p$，于是

$$a_{24}+a_{25}=a_{3\cdot 2^3}+a_{25}=3+25=28.$$ 使得 $a_n=5$ 的 $n$ 的取值依次为 $$5,5\cdot 2,5\cdot 2^2,\cdots,5\cdot 2^k,\cdots ,$$ 第 $8$ 个 $5$ 是数列中的第 $5\cdot 2^7=640$ 项．