每日一题[2313]虎头蛇尾

已知函数 $y=f\left(x\right)$ 在定义域 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上严格单调递增．

1、证明：函数 $y=f\left(x\right)$ 至多存在一个零点．

2、若函数 $f\left(x\right)$ 存在零点 $x_0$，证明：存在 $a\in\mathbb{R}$ 使得 $f\left(x+a\right)<f\left(x\right)+f\left(a\right)$ 对于任意 $x\in\left(-\infty,+\infty\right)$ 恒成立的充分必要条件是 $x_0<0$．

解析

1、若函数 $y=f(x)$ 有两个或两个以上的零点，不妨设 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）为 $y=f(x)$ 的零点，则根据函数 $y=f\left(x\right)$ 在定义域 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上严格单调递增，可得 $f(x_1)<f(x_2)$，与 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 矛盾． 因此函数 $y=f\left(x\right)$ 至多存在一个零点．

2、必要性    取 $x=x_0$，则

$$f(x_0+a)<f(x_0)+f(a)\iff f(x_0+a)<f(a)\iff x_0+a<a\iff x_0<0.$$

充分性    取 $a=x_0$，则

$$f(x+a)<f(x)+f(a)\iff f(x+x_0)<f(x)+f(x_0)\iff x+x_0<x\iff x_0<0.$$

综上所述，原命题得证．