每日一题[2312]内含平行四边形

已知三角形 $ABC$ 中，满足 $\dfrac{3\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{2\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac{\sqrt{19}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}$，点 $D$ 为线段 $AB$ 上的一个动点．若 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$ 的最小值为 $-3$，则 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 等于_______．

答案    $18$．

解析    设 $\dfrac{3\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\overrightarrow{AP}$，$\dfrac{2\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\overrightarrow{AQ}$，$\dfrac{\sqrt{19}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}=\overrightarrow{AR}$，则 $P,Q,R$ 分别在射线 $AB,AC,AM$ 上，且 $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AR}$ 的模分别为 $3,2,\sqrt{19}$，如图．

根据题意，$APRQ$ 为平行四边形，在 $\triangle APR$ 中，可得

$$\cos\angle APR=\dfrac{3^2+2^2-\left(\sqrt {19}\right)^2}{2\cdot 3\cdot 2}=-\dfrac 12,$$ 于是 $\angle BAC=\dfrac{\pi}3$，此时 $$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AD}\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)=-\dfrac 12db+d^2,$$ 其中 $AD=d$，$AC=b$，其最小值为 $-\dfrac{b^2}{16}$，进而可得 $b=4\sqrt 3$．又 $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac 32\iff AB=6\sqrt 3,$$ 因此 $$S=\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC=18.$$