每日一题[2289]展开

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$(2 n+1)^{n} \geqslant(2 n)^{n}+(2 n-1)^{n}$．

解析    题中不等式即 $$\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^n-\left(1-\dfrac1{2n}\right)^n\geqslant 1,$$ 而 $$LHS=2\left(\dbinom n1\left(\dfrac1{2n}\right)+\dbinom n3\left(\dfrac1{2n}\right)^3+\cdots \right)\geqslant 1,$$ 等号当 $n=1,2$ 时取，因此命题得证．