每日一题[2278]辅助不等式

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\ln (x+1)+\dfrac{\mathrm{e}^{x-1}}{x+1}$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程．

2、证明：当 $x>-1$ 时，$f(x)>\dfrac{4x+1}{3x+3}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x\left(\dfrac{1}{x+1}+\ln (x+1)\right)+\dfrac{x{\rm e}^{x-1}}{(x+1)^2},$$ 因此 $f(0)={\rm e}^{-1}$，$f'(0)=1$，所求切线方程为 $y=x+{\rm e}^{-1}$．

2、题中不等式即 $$\forall x>0,{\rm e}^{x-1}\ln x+\dfrac{{\rm e}^{x-2}}{x}>\dfrac{4x-3}{3x},$$ 也即 $$\forall x>0,x\ln x>\dfrac{\rm e}3(4x-3){\rm e}^{-x}-\dfrac{1}{\rm e},$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{\rm e}3(7-4x){\rm e}^{-x},$$ 因此考虑证明辅助不等式 $$x\ln x\geqslant x-1>g'(1)(x-1)+g(1)\geqslant g(x).$$ 第一个不等式可以由 $\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x$ 得到；第二个不等式中 $g'(1)=1$，$g(1)=\dfrac 13-\dfrac{1}{\rm e}$，因此不等式成立．对于第三个不等式，由于 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac 74,+\infty\right)$ 上单调递减，因此只需要证明 $x\in\left(0,\dfrac 74\right)$ 的情形，而在该区间上 $$g''(x)=\dfrac{\rm e}3(4x-11){\rm e}^{-x},$$ 因此 $g(x)$ 是上凸函数，进而有 $g(x)$ 的图象在其位于 $x=1$ 处的切线下方． 综上所述，原命题得证．