每日一题[2277]复数除法

求证：$\left((2a-b-c)+(b-c)\sqrt 3{\rm i}\right)^3=\left((2b-c-a)+(c-a)\sqrt 3{\rm i}\right)^3$．

解析    根据题意，有

$$\left((2a-b-c)+(b-c)\sqrt 3{\rm i}\right)\left(-\dfrac 12-\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}\right)=(2b-c-a)+(c-a)\sqrt 3{\rm i},$$ 因此 $$\dfrac{(2a-b-c)+(b-c)\sqrt 3{\rm i}}{(2b-c-a)+(c-a)\sqrt 3{\rm i}}=-\dfrac 12-\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i},$$ 从而 $$\dfrac{\left((2a-b-c)+(b-c)\sqrt 3{\rm i}\right)^3}{\left((2b-c-a)+(c-a)\sqrt 3{\rm i}\right)^3}=1,$$ 原命题得证．