每日一题[2275]隐零点

已知函数 $f(x)=a{\rm e}^x-\sin x$，$a$ 为实数．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上存在极值，求 $a$ 的取值范围．

2、若不等式 $f(x)+\sin x-1\leqslant x{\rm e}^x\left(x+\ln x-1\right)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=a{\rm e}^x-\cos x={\rm e}^x\left(a-{\rm e}^{-x}\cos x\right),$$ 考虑到函数 $y={\rm e}^{-x}\cos x$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，取值范围是 $(0,1)$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$．

2、根据题意，有 $$\forall x>0,a\leqslant x^2+x\ln x-x+{\rm e}^{-x},$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=2x+\ln x-{\rm e}^{-x},$$ 该函数单调递增，且 $g'\left({\rm e}^{-1}\right)<0<g'(1)$，因此 $g(x)$ 有唯一极小值点，亦为最小值点，设为 $x=m$，对应 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,g(m)\right]$，其中 $$2m+\ln m-{\rm e}^{-m}=0.$$ 注意到上述方程即 $$m+\ln m={\rm e}^{-m}+\ln {\rm e}^{-m},$$ 且函数 $y=x+\ln x$ 单调递增，因此 $$m={\rm e}^{-m}\iff \ln m=-m,$$ 因此 $$g(m)=m^2+m\ln m-m+{\rm e}^{-m}=m^2+m\cdot (-m)-m+m=0,$$ 从而 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,0]$．