每日一题[2266]两种内接

如图，正方形 $CPQR$ 和 $MSTN$ 均是直角三角形 $ABC$ 的内接正方形，面积分别为 $S_1,S_2$ ，试比较 $S_1,S_2$ 的大小．

答案 $S_1>S_2$ ．

解析记 $BC=a$ ， $AC=b$ ，正方形 $CPQR$ 和 $MSTN$ 的边长分别为 $m,n$ ，则根据 $\triangle ARQ$ 和 $\triangle QPB$ 相似，以及 $\triangle NCM$ 和 $\triangle BSM$ 相似，可得

m = \frac{a b}{a + b}, n = \frac{a b \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2} + a b},

$m=\dfrac{ab}{a+b},\quad n=\dfrac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+ab},$ 因此

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{(a^{2} + b^{2} + a b)^{2}}{(a + b)^{2} (a^{2} + b^{2})} = \frac{a^{4} + b^{4} + 2 a^{3} b + 2 a b^{3} + 3 a^{2} b^{2}}{a^{4} + b^{4} + 2 a^{3} b + 2 a b^{3} + 2 a^{2} b^{2}} > 1,

$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{m^2}{n^2}=\dfrac{(a^2+b^2+ab)^2}{(a+b)^2(a^2+b^2)}=\dfrac{a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2}{a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+2a^2b^2}>1,$ 因此

S_{1} > S_{2}

$S_1>S_2$ ．

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