每日一题[2261]强制分离

已知函数 $\varphi(x)=\dfrac{a}{x+1}$，$a$ 为正常数．

1、若 $f(x)=\ln x+\varphi(x)$，且 $a=\dfrac{9}{2}$，求函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $g(x)=|\ln x|+\varphi(x)$，且对任意的 $x_1, x_2 \in(0,2]$，$x_1 \neq x_2$，都有 $\dfrac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<-1$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-2)}{2x(1+x)^2},$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 12,2\right)$ 上单调递减，在 $\left(2,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、根据题意，有

$$\forall x_1,x_2\in (0,2],~\dfrac{(g(x_1)+x_1)-(g(x_2)+x_2)}{x_1-x_2}<0,$$ 因此函数 $h(x)=g(x)+x$ 在 $(0,2]$ 上单调递减．函数 $g(x)$ 是连续函数，因此题意即 $$\begin{cases} \forall x\in (0,1),~g'(x)+1\leqslant 0,\\ \forall x\in (1,2),~g'(x)+1\leqslant 0,\end{cases}\iff \begin{cases} \forall x\in (0,1),~-\dfrac 1x-\dfrac a{(x+1)^2}+1\leqslant 0,\\ \forall x\in (1,2),~\dfrac 1x-\dfrac a{(x+1)^2}+1\leqslant 0,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases}\forall x\in (0,1),~a\geqslant \dfrac{(x-1)(x+1)^2}x,\\ \forall x\in (1,2),~a\geqslant \dfrac{(x+1)^3}{x},\end{cases}$$ 即 $$\forall x\in (1,2),~a\geqslant \dfrac{(x+1)^3}{x},$$ 设不等式右侧函数为 $h(x)$，则 $$h'(x)=\dfrac{(2x-1)(x+1)^2}{x^2},$$ 因此 $h(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增，因此 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{27}{2},+\infty\right)$．