每日一题[2304]分解与展开

试确定一切有理数 $r$，使得关于 $x$ 的方程 $rx^2+(r+2)x+r-1=0$ 有且只有整数根．

答案    $-\dfrac 13,1$．

解析    若 $r=0$，则方程化为 $2x-1=0$，解得 $x=\dfrac 12$，不符合题意． 若 $r\ne 0$．设方程的两根为 $x_1,x_2$（$x_1\leqslant x_2$），则 $$x_1+x_2=-\dfrac{r+2}{r},\quad x_1x_2=\dfrac{r-1}r,$$ 从而 $$2x_1x_2-(x_1+x_2)=2 \cdot \dfrac{r-1}{r}+\dfrac{r+2}{r}=3,$$ 进而 $$(2x_1-1)(2x_2-1)=7,$$ 解得 $(x_1,x_2)=(1,4),(-3,0)$，从而 $r=-\dfrac 13$ 或 $r=1$． 综上所述，符合题意的有理数 $r$ 的值为 $-\dfrac 13,1$．