每日一题[2298]消元求值

求正整数对 $(a, b)$，同时满足条件：

① $0<a-\sqrt{2} b<1$；

② $150<(a+\sqrt{2} b)^{3}<200$．

答案    $(3,2)$．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} 0<a-\sqrt 2b<1,\\ 150<\left(a+\sqrt 2b\right)^3<200,\end{cases}\iff \begin{cases} a-1<\sqrt 2b<a,\\ \sqrt[3]{150}-a<\sqrt 2b<\sqrt[3]{200}-a,\end{cases}$$ 因此 $$\begin{cases} a>\sqrt[3]{150}-a,\\ \sqrt[3]{200}-a>a-1,\end{cases}\iff \dfrac12\sqrt[3]{150}<a<\dfrac{\sqrt[3]{200}+1}2\implies 2<a<4,$$ 从而 $a=3$，进而 $$2<\sqrt 2b<3\implies b=2,$$ 经验证 $(a,b)=(3,2)$ 符合题意，因此满足条件的正整数对 $(a,b)$ 只有 $(3,2)$．