每日一题[2297]分道扬镳

非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,10\}$，$A\cap B=\varnothing$，若 $A$ 中的元素个数不是 $A$ 的元素，$B$ 中的元素个数不是 $B$ 的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为_______．

答案    $186$．

解析    考虑更一般的命题，若 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,n\}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），设 $A$ 中有 $k$ 个元素（$1\leqslant k\leqslant n-1$），$B$ 中有 $n-k$ 个元素，则 $k\notin A$，$n-k\notin B$．

情形一    $n$ 为偶数． 当 $k=\dfrac n2$ 时，不存在符合条件的集合 $A$；当 $k\ne \dfrac n2$ 时，对应的集合 $A$ 有 $\dbinom {n-1}{k-1}$ 个，因此所求集合个数为

$$\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}=2^{n-2}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}.$$

情形二    $n$ 为奇数． 对应的集合 $A$ 有 $\dbinom {n-2}{k-1}$ 个，因此所求集合个数为

$$\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}=2^{n-2}.$$

特别的，当 $n=10$ 时，所求集合个数为 $2^8-\dbinom 84=186$．