每日一题[2295]退化图形

四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，对边 $AB,DC$ 延长交于 $P$，$AD,BC$ 延长交于 $Q$，过点 $Q$ 作 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $E,F$．求证：$P,E,F$ 共线．

解法一

连接 $PQ$，并且在 $PQ$ 上取一点 $M$，使得 $B,C,M,P$ 四点共圆，如图．

根据圆幂定理，有

$$Q E^{2}=Q M \cdot Q P=Q C \cdot Q B,$$ 并且 $\angle P M C=\angle C B A=\angle P D Q$，所以 $C, D, Q, M$ 四点共圆，从而 $$P M \cdot P Q=P C \cdot P D,$$ 进而 $$P Q^{2}=P M \cdot P Q+Q M \cdot P Q=Q C \cdot Q B+P C \cdot P D.$$ 连接 $PF$，设 $PF$ 与圆的另一交点为 $E^{\prime}$，作 $Q G \perp P F$，垂足为 $G$，则 $$P D \cdot P C=P E^{\prime} \cdot PF,QF^2=QC \cdot QB,$$ 所以 $$P E^{\prime} \cdot P F+Q F^{2}=P Q^{2}\iff P E^{\prime} \cdot P F=P Q^{2}-Q E^{2}.$$ 又因为 $$P Q^{2}-Q F^{2}=P G^{2}-G F^{2}=(P G-G F)(P G+G F)=P F(P G-G F),$$ 从而 $$P G-G F=P E^{\prime}=P G-G E^{\prime},$$ 从而 $GF=G E^{\prime}$，故 $E^{\prime}$ 与 $E$ 重合，$P,E,F$ 三点共线．

解法二

设过 $A,D$ 的切线相交于 $R$，过 $B,C$ 的切线相交于 $S,AC,BD$ 相交于 $T$，则 $R$ 为 $AD$ 的极点，$S$ 为 $BC$ 的极点．由于 $AD$ 过点 $Q$，$BC$ 过点 $Q$，所以 $Q$ 的极线 $EF$ 过点 $R,S$．在退化六边形 $AACDDB$ 中，由 帕斯卡（$\tt Pasacal$）定理，$P,R,T$ 三点共线；类似的在 $ACCDBB$ 中，$P,S,T$ 三点共线．所以 $P,R,S,T$ 四点共线，即 $P$ 在直线 $EF$ 上，命题得证．