每日一题[2240]光学性质

过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$，过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$，$|OQ|=\dfrac 35$，则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______．

答案    $\dfrac{3}{25}$．

解析    设 $l$ 与 $x,y$ 轴分别交于点 $M,N$，则 $O$ 为 $FM$ 的中点，$N$ 为 $PM$ 的中点，且 $FP=FM$，如图．

设 $\angle FMP=\angle MPF=\theta$，则

$$\angle FOQ=90^\circ-\theta=\angle OQF,$$ 从而 $|OF|=|FQ|=\dfrac 12$，因此 $\triangle OFQ$ 的面积为 $$\dfrac 12\cdot \dfrac 35\cdot \sqrt{\left(\dfrac 12\right)^2-\left(\dfrac{3}{10}\right)^2}=\dfrac{3}{25}.$$