每日一题[2228]焦半径公式

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_1$ 作与一条渐近线垂直的直线 $l$，且 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|=|NF_2|$，则该双曲线的渐近线方程为_______．

答案    $y=\pm\left(\sqrt 3+1\right)x$．

解析    如图．

设 $\angle NF_1F_2=\theta$，根据双曲线的焦半径公式 $II$，有

$$\begin{cases} |MF_1|=\dfrac{b^2}{c\cos\theta+a},\\ |NF_1|=\dfrac{b^2}{c\cos\theta-a},\end{cases}$$ 进而 $$|MN|=|NF_2|\iff \dfrac{b^2}{c\cos\theta-a}-\dfrac{b^2}{c\cos\theta+a}=\dfrac{b^2}{c\cos\theta-a}-2a,$$ 其中 $\cos\theta=\dfrac bc$．化简得 $$b^2-2ab-2a^2=0\implies \dfrac ba=1+\sqrt{3},$$ 因此该双曲线的渐近线方程为 $y=\pm\left(\sqrt 3+1\right)x$．