每日一题[2225]化椭为圆

已知 $P,Q,M$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上不同的三点，且原点 $O$ 是 $\triangle PQM$ 的重心，若点 $M\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2b\right)$，直线 $PQ$ 的斜率恒为 $-\dfrac 12$，则椭圆 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 2}3$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3$

C．$\dfrac{\sqrt 2}2$

D．$\dfrac{\sqrt 3}2$

答案    D．

解析    在伸缩变换 $x=x'$，$y=\dfrac bay'$ 下，椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=a^2$，此时 $\triangle P'Q'M'$ 的重心为 $O'$（即 $O$），外心也为 $O'$，从而 $\triangle P'Q'M'$ 为等边三角形．$M'\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2a\right)$，因此 $O'M'$ 的斜率为 $1$，进而 $P'Q'$ 的斜率为 $-1$，从而

$$-\dfrac ba=-\dfrac 12\implies e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\left(\dfrac 12\right)^2}=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 其中 $e$ 为椭圆 $C$ 的离心率．