每日一题[2222]切线方程

已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线与 $x$ 轴交于 $D$ 点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|FA|\cdot |FB|=|FA|+|FB|$．

1、求抛物线 $C$ 的方程． 设 $P,Q$ 是抛物线 $C$ 上的不同两点，且 $PF\perp x$ 轴，

2、直线 $PQ$ 与 $x$ 轴交于 $G$ 点，再在 $x$ 轴上截取线段 $|GE|=|GD|$，且点 $G$ 介于点 $E$ 与点 $D$ 之间，连接 $PE$，过点 $Q$ 作直线 $PE$ 的平行线 $l$，证明：$l$ 为抛物线 $C$ 的切线．

解析

1、根据抛物线的焦点调和平均性质，有

$$\dfrac{1}{|FA|}+\dfrac{1}{|FB|}=\dfrac{2}{p}\implies p=2,$$ 因此所求抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．

2、根据题意，有 $P(1,2)$，设 $Q(4q^2,4q)$，则 $G(-2q,0)$，于是 $E(-4q+1,0)$，因此直线 $PE$ 的斜率为 $\dfrac 2q$，而抛物线在 $Q$ 处的切线方程为

$$4qy=2(x+4q^2),$$ 因此命题得证．