每日一题[2214]分拆与分解

已知 $a_n=\dfrac{(2^3-1)(3^3-1)\cdots(n^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)\cdots(n^3+1)}$，$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=$（       ）

A．$\dfrac 12$

B．$\dfrac 23$

C．$\dfrac 34$

D．前三个选项都不对

答案    B．

解析    根据题意，有 $$a_n=\prod_{k=2}^{n}\dfrac{k^3-1}{k^3+1}=\prod_{k=2}^n\left(\dfrac{k-1}{k+1}\cdot \dfrac{k(k+1)+1}{(k-1)k+1}\right)=\dfrac{1\cdot 2}{n(n+1)}\cdot \dfrac{n(n+1)+1}{(2-1)\cdot 2+1}=\dfrac {2(n^2+n+1)}{3(n^2+n)},$$ 因此 $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\dfrac 23$．