设\(a_1=0\)，\(2a_{n+1}=3a_n+\sqrt{5a_n^2+4}\)．求证：数列\(\left\{a_n\right\}\)中不存在能被\(2016\)整除的偶数项．
解 根据题中条件整理得\[a_{n+1}^2-3a_na_{n+1}+a_n^2-1=0,\]差分后可得\[\left(a_{n+1}-a_{n-1}\right)\left(a_{n-1}+a_{n+1}-3a_n\right)=0,\]于是\[a_{n-1}+a_{n+1}=3a_n.\]于是由\(a_2=1\)可知所有偶数项均不能被\(3\)整除，也就不能被\(2016\)整除．