每日一题[139] 递推数列

设$a_1=0$，$2a_{n+1}=3a_n+\sqrt{5a_n^2+4}$．求证：数列$\left\{a_n\right\}$中不存在能被$2016$整除的偶数项．

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解    根据题中条件整理得

$$a_{n+1}^2-3a_na_{n+1}+a_n^2-1=0,$$ 差分后可得 $$\left(a_{n+1}-a_{n-1}\right)\left(a_{n-1}+a_{n+1}-3a_n\right)=0,$$ 于是 $$a_{n-1}+a_{n+1}=3a_n.$$ 于是由$a_2=1$可知所有偶数项均不能被$3$整除，也就不能被$2016$整除．