每日一题[2167]火星对数

在火星文明中，所有未指定底数对数的底数都默认为 $b$（$b\geqslant 2$），一位火星学生写下方程组

$$\begin{cases} 3 \log (\sqrt{x} \log x) =56, \\ \log _{\log x}(x) =54,\end{cases}$$ 且发现这个方程组只有唯一一个大于 $1$ 的实数解，则 $b=$ _______．

答案    $216$．

解析    题中方程组即

$$\begin{cases} {\log_b}x=54{\log_b}\left({\log_b}x\right),\\ \dfrac{14}9{\log_b}x=56,\end{cases}$$ 于是 ${\log_b}x=36$，从而 $b=36^{\frac 32}=216$，此时 $x=6^{108}$ 是唯一的实数解．