每日一题[2081]容斥原理

一个 $150\times 324\times 375$ 的长方体由 $1\times 1\times 1$ 的单位立方体胶合在一起而做成的，则这长方体的一条内对角线穿过_______个单位立方体的内部．

答案    $768$．

解析    对于 $a\times b\times c$ 的长方体 $a,b,c\in\mathbb N^{\ast}$，根据容斥原理，所求单位正方体的个数为 $$a+b+c-\gcd(a,b)-\gcd(b,c)-\gcd(c,a)+\gcd(a,b,c),$$ 因此所求数目为 $$150+324+375-6-3-75+3=768.$$