每日一题[2047]完全平方数

设 $\triangle ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 都是整数，面积是有理数，则 $a$ 的最小值是_______．

答案    $3$．

解析    取三边为 $3,4,5$ 的三角形，其面积为 $6$，此时 $a$ 的值可以取 $3$．

当 $a=1$ 时，有 $$|a-b|<c<|a+b|\iff c=b,$$ 此时 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac 14\sqrt{4b^2-1}$，注意到 $4b^2-1\equiv 3\pmod 4$，不为完全平方数，因此 $\triangle ABC$ 的面积不可能是有理数．

当 $a=2$ 时，不妨设 $2\leqslant b\leqslant c$，有 $$|a-b|<c<|a+b|\iff c=b\lor c=b+1.$$ 若 $c=b$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{b^2-1}$，注意到 $b^2-1\equiv 3\pmod 4$，因此 $\triangle ABC$ 的面积不可能是有理数． 若 $c=b+1$，则 $$\cos C=\dfrac{b^2+2^2-(b+1)^2}{4b}=\dfrac{-2b+3}{4b},$$ 于是面积为有理数，等价于 $\sin C$ 为有理数，即 $$\sqrt{(4b)^2-(-2b+3)^2}=\sqrt{12b^2+12b-9}$$ 为完全平方数，注意到 $12b^2+12b-9\equiv 3\pmod 4$，因此 $\triangle ABC$ 的面积不可能是有理数．

综上所述，$a$ 的值不可能为 $1,2$，最小值为$3$．