每日一题[2039]数值估计

使得 $n\sin 1>1+5\cos 1$ 成立的最小正整数 $n$ 的值为（       ）

A．$3$

B．$4$

C．$5$

D．$6$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$3.5=1+5\cos\dfrac{\pi}3<1+5\cos 1<1+5\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)<3.9,$$ 而 $$0.83<1-\dfrac 16 <\sin 1<\sin\dfrac{\pi}3<0.87,$$ 因此使得不等式成立的最小正整数 $n$ 的值为 $5$．

备注    其中用到了 $y=\cos x$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 区间上的割线 $\dfrac{2x}{\pi}+y=1$，以及 $x-\dfrac 16x^3<\sin x$．