每日一题[1988]分类讨论

设 $P(x)$ 是复系数二次多项式，且 $x^2$ 的系数为 $1$，设方程 $P(P(x))=0$ 有 $4$ 个不同的解 $x=3,4,a,b$，则所有 $(a+b)^2$ 的可能值之和为_______．

答案    $085$．

解析    分类讨论．

情形一     $P(3)=P(4)$，那么 $P(a)=P(b)$，根据韦达定理，有 $$(a+b)^2=(3+4)^2=49.$$

情形二     $P(3)\ne P(4)$，那么不妨设 $P(3)=P(a)$，$P(4)=P(b)$，根据韦达定理，有 $b=a-1$．设 $P(x)=x^2-(3+a)x+c$．再根据韦达定理，$P(3),P(4)$ 是 $P(x)=0$ 的两个不同的解，于是 $$\begin{cases} P(3)+P(4)=3+a,\\ P(3)\cdot P(4)=c,\end{cases}\iff \begin{cases} (-3a+c)+(4-4a+c)=3+a,\\ (-3a+c)(4-4a+c)=c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=-\dfrac 52,\\ c=-\dfrac{21}2,\end{cases}$$ 于是 $(a+b)^2=(2a-1)^2=36$．

综上所述，所求和为 $49+36=85$．