每日一题[1983]复数与几何

已知凸五边形 $ABCDE$ 中, $AB=5$, $BC=CD=DE=6$, $EA=7$, 且五边形 $ABCDE$ 有内切圆, 则五边形 $ABCDE$ 的面积为_______.

答案    $60$．

解析    如图, 设各边切点分别为 $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$, $AA_1=AE_1=a$, $BA_1=BB_1=b$, $CB_1=CC_1=c$, $DC_1=DD_1=d$, $ED_1=EE_1=e$, 则

$$\begin{cases} a+b=5,\\ b+c=6,\\ c+d=6,\\ d+e=6,\\ e+a=7,\end{cases} \iff \begin{cases} a=3,\\ b=2,\\ c=4,\\ d=2,\\ e=4.\end{cases}$$

注意到 $\angle A_1IB_1+\angle B_1IC_1+\angle C_1ID_1+\angle D_1IE_1+\angle E_1IA_1=2\pi$, 设内切圆半径为 $r$, 于是\[2\arctan \dfrac 2r+2\arctan\dfrac 4r+\arctan\dfrac3r=\pi,\]也即\[2{\rm Arg}(r+2{\rm i})+2{\rm Arg}(r+4{\rm i})+{\rm Arg}(r+3{\rm i})=\pi,\]从而\[{\rm Im}\big((r+2{\rm i})^2(r+4{\rm i})^2(r+3{\rm i})\big)=0,\]展开可得\[15r^4-252r^2+192=0,\]解得 $r=\dfrac{2}{\sqrt 5}$ (舍去) 或 $r=4$, 因此所求面积为\[\dfrac 12\cdot (5+6+6+6+7)\cdot 4=60.\]