每日一题[1976]递推数列

已知数列 $\{t_n\}$ 满足 $t_1=20$, $t_2=21$, $t_{n}=\dfrac{5 t_{n-1}+1}{25 t_{n-2}}$ ($n\geqslant 3$). 若 $t_{2020}$ 的最简分数形式是 $\dfrac pq$, 则 $p+q=$_______.

答案    $626$．

解析    记 $t_1=a$, $t_2=b$, $5=k$, 则

$$\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline t_n&a&b&\dfrac{bk+1}{ak^2}&\dfrac{ak+bk+1}{abk^2}&\dfrac{ak+1}{bk^2}&a&b\\ \hline \end{array}$$ 因此 $\{t_n\}$ 是周期为 $5$ 的数列, 进而 $$t_{2020}=t_5=\dfrac{ak+1}{bk^2}=\dfrac{5t_1+1}{25t_2}=\dfrac{101}{525},$$ 所以 $p+q=101+525=626$.