每日一题[1974]水滴

已知集合 $P=\left\{(x, y) \mid (x-\cos \theta)^{2}+(y-\sin \theta)^{2}=4,0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right\}$．由集合 $P$ 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．

给出下列结论：

①“水滴”图形与 $y$ 轴相交，最高点记为 $A$，则点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$；

② 在集合 $P$ 中任取一点 $M$，则 $M$ 到原点的距离的最大值为 $3$；

③ 阴影部分与 $y$ 轴相交，最高点和最低点分别记为 $C, D$，则 $|C D|=3+\sqrt{3}$；

④ 白色“水滴”图形的面积是 $\dfrac{11}{6} \pi-\sqrt{3}$．

其中正确的有_______．

答案    ②③④．

解析

如图．

结论 ①     $A$ 点的坐标为 $\left(0,\sqrt 3\right)$．

结论 ②     根据闵可夫斯基不等式，有

$$|OM|=\sqrt{x^2+y^2}\leqslant \sqrt{(x-\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2}+\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=3,$$ 等号当 $M$ 位于 $(\pm 3,0)$ 时取得，因此命题正确．

结论 ③    $C$ 点坐标为 $\left(0,\sqrt 3\right)$，$D$ 点坐标为 $(0,-1)$，于是 $|CD|=3+\sqrt 3$，命题正确．

结论 ④    白色水滴的面积为

$$\dfrac 12\cdot \pi \cdot 1^2+2\cdot \dfrac{\pi}6 \cdot 2^2-\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2^2=\dfrac{11}6\pi-\sqrt 3,$$ 命题正确．