每日一题[1934]极坐标表示

已知点 $A$ 在双曲线 $xy=1$ 上，且 $A$ 位于第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 为正三角形，且线段 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$，若 $BC=2CA$，则等边三角形 $AOB$ 的面积为_______．

答案    $\dfrac 75$．

解析    设 $A(\theta:r)$，$B\left(\theta+\dfrac{\pi}3:r\right)$，则 $C\left(\dfrac{2r\cos\theta+r\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}3\right)}{3},\dfrac{2r\sin\theta+r\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}3\right)}{3}\right)$，于是

$$2r\cos\theta+\dfrac 12r\cos\theta-\dfrac{\sqrt 3}2r\sin\theta=0\iff \tan\theta=\dfrac{5}{\sqrt3},$$ 进而可得 $$r\cos\theta\cdot r\sin\theta=1\implies \dfrac{\sqrt 3}4r^2=\dfrac{\sqrt 3}{2\sin2\theta}=\dfrac{\sqrt 3(1+\tan^2\theta)}{4\tan \theta}=\dfrac 75.$$